Проекция неба
Добавлено 25 апреля 2008
В данной статье речь пойдет о такой важной прикладной задаче, как построение правильной проекции небесной сферы на плоскость.
Проекция и ее виды
Как известно из начал картографии, любое объемное тело невозможно отобразить на плоскости без каких бы то ни было искажений. Это в полном объеме относится как и к земной поверхности, когда мы создаем географическую карту, так и к небесной сфере, если перед нами стоит задача построения карты неба. При этом совершенно не важно, где мы строим карту — на бумаге или же на экране компьютера, поскольку в конечном итоге нам необходимо перенести (спроектировать) сферическую объемную поверхность на плоскость (лист бумаги или плоскость монитора).
Для начала обратимся к огромному опыту картографии, современные основы которой проистекают от работ Меркатора.
Проекция в определении картографии и математики представляет собой систему отображений (далее мы будем использовать этот термин, имея в виду проекцию). Система имеет вид:
В правой части системы — пара функций, задающих проекцию. Аргументы этих функций в общем случае представляют собой координаты на сферической поверхности. Например, это могут быть географические координаты — широта и долгота (если строится проекция земного шара), или координаты на небесной сфере, как экваториальные — прямое восхождение и склонение (если строится карта северного или южного полушария неба), так и горизонтальные — высота и азимут. В дальнейшем будем рассматривать последний случай, т.к. мы строим проекцию видимой в данный момент небесной полусферы.
В левой части — декартовы координаты на целевой плоскости.
В картографии используется множество различных видов проекций, отличающихся как по способу построения, так и по типу искажений.
Виды проекций по способу построения:
- Цилиндрические
- Азимутальные (перспективные)
- Конические
- Поликонические
- Многогранные
- Произвольные (условные)
Виды проекций по характеру искажений:
- Равноугольные (конформные) — проекции, в которых сохраняется равенство углов между направлениями при перенесении их с глобуса на карту. Бесконечно малые контуры на земной поверхности изображаются на карте подобными контурами, т. е. без искажений.
- Равновеликие (эквивалентные) — проекции, в которых изображения сохраняют величину площадей. Равновеликие проекции неравноугольны. Подобие фигур при перенесении на карту не сохраняется.
- Равнопромежуточные — проекции, в которых масштаб сохраняется по одному из главных направлений. Эта проекция неравноугольная, следовательно, исключает подобие фигур.
- Произвольные — проекции, в которых не соблюдается ни одно из условий, положенных в основу указанных выше трех групп проекций.
Для создания карты видимой небесной полусферы часто используют азимутальную и коническую проекции. Далее мы будем рассматривать только их и изложим основные принципы их построения.
Для начала проиллюстрируем поставленную перед нами задачу. Нам необходимо изобразить видимую в данный момент полусферу неба в виде круга, окружность которого символизирует горизонт, а внутренние области круга — видимую половину небесной сферы. То есть, в конечном итоге мы должны получить карту такого вида:
Рис. 1.
Азимутальная неконформная проекция
Самый простой способ построить проекцию неба — это использовать формулы для азимутальной проекции. Они имеют вид:
Здесь r — известный параметр, определяющий радиус окружности небесной полусферы на проекции, alt и az — высота и азимут светила соответственно. Предполагается, что горизонтальные координаты выражены в градусах дуги.
Если мы воспользуемся указанным преобразованием, то получим следующее:
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Как нетрудно заметить, радиусы кругов высот (концентрических окружностей на рисунке 3) меняются с определенным постоянным шагом. Т.е. расстояние между уровнями высот 90° — 80° на плане точно такое же, как расстояние между уровнями высоты 20° — 10°. Это обусловлено тем, что в формулах азимутальной проекции используется линейная зависимость от высоты alt. Если нанести на рисунок экваториальную сетку координат (см. рисунок 2), то мы увидим, что углы между кругами склонений и прямых восхождений не равны 90 градусам, как есть на самом деле. Таким образом, построенная нами азимутальная проекция небесной полусферы не является конформной, то есть сохраняющей углы. На первый взгляд, это маловажное свойство может быть нами проигнорировано. Но как быть, если перед нами стоит более сложная задача, например, построить в этой проекции изображение лунного или солнечного диска? Если небесное тело находится строго в зените (в центре нашей проекции), то оно будет отображено без искажений формы, т.е. останется круглым. Чем ближе к горизонту, тем больше искажение, и диск небесного тела будет иметь уже эллипсоидальную форму. Это происходит потому, что отображение не конформно. Все вышесказанное хорошо видно из рисунка 4.
Каким же образом добиться того, чтобы форма дисков небесных тел не искажалась c уменьшением высоты? Вывод, который напрашивается сам собой — использовать конформное отображение.
Коническая конформная проекция
Формулы для конического конформного отображения более сложны, однако они дадут нам такое необходимое свойство нашей проекции, как сохранение углов и, следовательно, формы объектов:
Здесь использованы те же обозначения для параметров и аргументов, что и выше.
Применяя указанное преобразование к экваториальной (рис. 5) и горизонтальной (рис. 6) координатным сеткам, мы получим следующее:
Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
На рисунке 5 хорошо видно, что углы между кругами склонений и прямых восхождений прямые, то есть полученное отображение конформно.
С другой стороны, у данной проекции есть и недостаток. Если нанести на проекцию линии горизонтальной координатной сетки, то круги высот будут распределены иначе, чем в случае с азимутальной проекцией. Расстояние между уровнями высот 90° — 80° на плане будет меньше, чем расстояние между уровнями высоты 20° — 10°, хотя в действительности оба интервала равны десяти градусам (см. рисунок 6). Изображение у горизонта будет больше «растянуто», однако сохранит пропорции. Вышесказанное иллюстрирует рисунок 7.
Итак, мы выяснили, что каждая из проекций обладает как своими достоинствами, так и недостатками. Азимутальная проекция не искажает расстояния между уровнями высот, однако изменяет формы объектов. Коническая проекция сохраняет формы объектов, однако искажает расстояния и, соответственно, масштабы объектов. Однако второе искажение в нашем случае менее важно, поскольку увеличение масштаба дисков Луны и Солнца сравнительно невелико по сравнению с размерами самой карты. Первое обстоятельство (сохранение углов) более значимо, так как не искажает форму объектов и позволяет правильно моделировать такие явления, как, например, покрытия звезд и планет Луной.